四库全书 / 子藏 / 算法-7部 /

九章算术 汉 张苍 　　昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。《周官大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。 　　卷一 　　○方田（以御田畴界域） 　　今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。 　　又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。 　　〔图：从十四，广十二。〕 　　方田术曰：广从步数相乘得积步。 　　〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。 　　淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。〕 　　以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 　　〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。 　　二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕 　　今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。 　　又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。 　　里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 　　〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。〕 　　今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。 　　又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。 　　○约分 　　〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。 　　设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕 　　术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。 　　〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕 　　今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。